Die gebürtige Stuttgarterin begann ihr Studium an der Universität der Künste Berlin bei Prof. Markus Nyikos. Nach einem Auslandsaufenthalt in Prag mit Unterricht bei Prof. Stanislav Apolin beendete sie ihre Ausbildung an der Hochschule für Musik Saarbrücken bei Prof. Gustav Rivinius "mit Auszeichnung". Zahlreiche Meisterkurse u. a. bei Prof. Boettcher und Prof. Ostertag rundeten ihren musikalischen Werdegang ab. Sie war Mitglied des European Union Youth Orchestra und spielt regelmäßig als Gast in Spitzenorchestern wie dem Konzerthaus-Orchester Berlin, der Deutschen Radio Philharmonie Saarbrücken Kaiserslautern und den Bamberger Symphonikern. Seit Januar 2007 ist sie Mitglied der Essener Philharmoniker, seit 2021 außerdem Mitglied im Orchester der Bayreuther Festspiele. Zudem widmet sich Anja Rapp regelmäßig der Kammermusik.